Ви перебуваєте: Морс » Технології та дизайн » Математика футбольного м'яча

331|

Математика футбольного м'яча

Математика футбольного м'яча

Про те, чому офіційний м'яч останніх чемпіонатів світу насправді куб.

Здавалося б, м'яч - предмет круглий, що ще про нього сказати? Але реальність не така проста, як здається, і на те, щоб підвищити «сфероподібність» футбольного м'яча, виробникам довелося чимало потрудитися. І ось уже шостий рік м'яч офіційних турнірів ФІФА - куб. Чому це так?


Класика.


Поверхня класичного футбольного м'яча складається зі злегка викривлених 12 правильних п'ятикутників чорного кольору і 20 правильних білих шестикутників.

«Класичним» такий м'яч був не завжди: вперше такі крій і розфарбування були використані для офіційного м'яча на чемпіонаті світу в 1970 році в Мексиці. Чорно-біла гама тоді була обрана з міркувань контрастності, щоб м'яч було краще видно на екранах чорно-білих телевізорів, що переважали в той час. Та й саму свою назву - Telstar - він отримав на честь телевізійного супутника. У наступні роки розфарбування офіційних м'ячів змінювалося, але крій залишався незмінним аж до чемпіонату 2002 року.

З точки зору математики класичний футбольний м'яч є усіченим ікосаедром.

Ікосаедр - один з п'яти правильних багатогранників. Його назва походить від давньогрецьких слів «двадцять» і «основа». У ікосаедра 12 вершин, 20 граней - правильних трикутників, 30 ребер.
Математика футбольного м'яча

Якщо зрізати верхівки ікосаедра, відступивши від вершин так, щоб частини граней, що залишилися, були правильними шестикутниками, то зрізи будуть правильними п'ятикутниками. Це усічений ікосаедр - один з напівправильних багатогранників: всі грані - правильні багатокутники декількох різних типів, всі вершини влаштовані «однаково», тобто багатогранні кути при вершинах рівні.

Отже, класичний футбольний м'яч - усічений ікосаедр.


Сучасність.


Як відомо, сферу не можна зігнути з плоскої розгортки. Це забороняє зробити математика - теорема про те, що важлива характеристика поверхні, звана гауссовою кривизною, не змінюється при згинанні без розтягнень.

Гауссова кривизна відображає внутрішню геометрію поверхні і не змінюється при її згинанні. Наприклад, у площини гауссова кривизна дорівнює нулю. У циліндра і конуса, які можна згорнути з плоского аркуша паперу, - теж нуль.

А ось у сфери гауссова кривизна позитивна. Значить, зробити сферу з плоских панелей (розгортки) - неможливо. І навпаки, розгорнути сферу на площину без спотворень теж не можна, і всі плоскі карти Землі - неточні.

Тому яку модель м'яча не взяти, її необхідно «роздувати». А чи можна придумати модель м'яча, що складається з плоских панелей, але вже від початку ближчу до сфери, ніж класична? (Зрозуміло, що можна взяти багатогранник з великим числом граней і вершин, але тоді ускладниться процес виготовлення.)

Після 2002 року почалися експерименти, і в 2014 році на чемпіонаті світу в Бразилії відбулася прем'єра нового офіційного м'яча, що отримав назву Brazuca.

Модель цього м'яча дійсно більш «сфероподобна», ніж класична. Але при цьому Brazuca - це куб!

Як і куб, вона збирається з шести однакових плоских панелей, що мають по чотири кути. У неї вісім вершин, в кожній з яких сходиться по три панелі.

Математика футбольного м'яча

Придумані фірмою Adidas панелі дійсно можна склеїти в опуклу поверхню. Успіх гарантує виконання умов теореми: сума кутів панелей в вершинах не перевищує 360 градусів, довжини «сторін» панелей між кутами збігаються, а сума кривизн кордонів в точках склейки невід'ємна.

У моделі класичного м'яча вся кривизна зосереджена в кінцевому числі «виступаючих» вершин. Всі чотири кути панелі Brazuca рівні 120 градусам. Відповідно, коли в вершинах моделі зустрічаються три кути, сума кутів навколо вершини дорівнює 360 градусам: поверхня м'яча навколо вершини буде «плоскою».

Математика футбольного м'яча

Але куди ж поділася кривизна? Адже сфера є поверхнею постійно позитивної кривизни і кривизна повинна бути! У моделі бразукі кривизна «розмазана» по довгих ребрах - через це модель стає істотно ближчою до сфери, ніж модель класичного м'яча.



© знайдено в мережі