Як знайти площу багатокутника за хвилину без складних розрахунків

Як знайти площу багатокутника, зображеного на папері? І чи можна зробити це за 20 секунд без координат, тангенсів та складних обчислень? Наприклад, як швидко розрахувати площу плиткової підлоги з кутами та підрізами? Допомогти в цьому може формула австрійського математика Георга Піка.



У школі нас вчили, що складну фігуру треба вписати у прямокутник. Потім знайти площу всіх додаткових фігур, знайти площу самого прямокутника і відняти від неї суму додаткових площ.

Наприклад, площу S трикутника АВС можна обчислити відніманням з площі прямокутника площ S1, S2 та S3. Але якщо багатокутник складний, а додаткових фігур багато, такий спосіб стає досить стомливим.



Спростити завдання і обійтися без формул можна, порахувавши всі клітинки. Однак деякі з них лише наполовину перебувають усередині фігури. У нашому трикутнику з 36 клітинок повних - 15, а неповних - 21. Умовно 2 неповних клітинки можна прийняти за 1 повну. Тоді площа трикутника дорівнюватиме 15 + 21/2 = 25,5 клітинок.

Але це приблизний підрахунок. Порахувати простіше та точніше дозволяє теорема Піка, про яку в школі, на жаль, вчителі розповідають далеко не всім. Звучить вона так: площа багатокутника з вершинами у вузлах сітки може бути знайдена за формулою
S = N - 1 + M/2

N — кількість вузлів решітки всередині багатокутника
M — кількість вузлів решітки на границі багатокутника



У нашому випадку для наочності за комірку решітки ми приймаємо квадрат зі сторонами в 4 клітинки. Тоді всередині фігури 12 вузлів решітки (зелені точки), але в межі багатокутника 14 вузлів (червоні точки). N = 12, а M = 14. Підставляємо у формулу: S = 12 - 1 + 14/2 = 18



Для закріплення навички спробуй підрахувати площу ще однієї фігури і поділися результатом у коментарях, а заразом перевір його традиційним способом. Очевидно, що витрачені зусилля та час непорівнянні.



Зверни увагу, що формула Піка працює лише для багатокутників, вершини яких знаходяться у вузлах координатної сітки. Повністю замінити нею звичайні формули обчислення площі, на жаль, не вийде, тому забувати їх у жодному разі не варто. Як бачиш, і математика може бути цікавою.

---

© знайдено в мережі